Bất đẳng thức cauchy - Tìm hiểu ngay để nâng cao kiến thức

Bất đẳng thức Cauchy là 1 bất đẳng thức cần thiết nhập toán học tập, được công tía vày căn nhà toán học tập Augustin-Louis Cauchy. Ý nghĩa của bất đẳng thức này là nó tương quan cho tới tích phân và được chấp nhận tớ Reviews sự cân đối của tích phân của nhị hàm.
Bất đẳng thức Cauchy được chấp nhận tớ xác lập số lượng giới hạn bên trên cho tới tích phân của nhị hàm miền độ quý hiếm hữu hạn bên trên một khoảng tầm xác lập. Như vậy cực kỳ hữu ích trong công việc số lượng giới hạn và Reviews tích phân trong không ít nghành nghề dịch vụ không giống nhau của toán học tập và khoa học tập bất ngờ.
Một phần mềm cần thiết của bất đẳng thức Cauchy là nhập nghành nghề dịch vụ phân tách số. Nó được dùng nhằm minh chứng rằng những chuỗi số quy tụ hoặc phân chảy. Bất đẳng thức Cauchy cũng khá được dùng nhập phép tắc toán yêu tinh trận và lý thuyết tín hiệu.
Công thức bất đẳng thức Cauchy đem dạng:
|x·y| ≤ sqrt(|x|^2) · sqrt(|y|^2)
Trong cơ x và nó là nhị vector nhập không khí Rn hoặc Cn, và |x| và |y| là sự cân đối của bọn chúng. Bất đẳng thức đã cho thấy rằng tích vô vị trí hướng của nhị vector ko vượt lên trước quá tích của sự cân đối của bọn chúng.
Để vận dụng bất đẳng thức Cauchy, tớ cần thiết đánh giá ĐK ứng về sự việc tồn bên trên và đồng dạng của những hàm. Sau cơ, tớ hoàn toàn có thể vận dụng bất đẳng thức và triển khai những phép tắc tính nhằm Reviews số lượng giới hạn bên trên của tích phân của nhị hàm.

Bạn đang xem: Bất đẳng thức cauchy - Tìm hiểu ngay để nâng cao kiến thức

Bất đẳng thức Cauchy, còn được gọi là bất đẳng thức Schwarz, là 1 bất đẳng thức truyền thống nhập lý thuyết số và phân tách. Bất đẳng thức này và được cách tân và phát triển vày những căn nhà toán học tập Augustin-Louis Cauchy và Hermann Amandus Schwarz. Bất đẳng thức Cauchy đem dạng:
(x₁y₁ + x₂y₂ + ... + xₙyₙ)² ≤ (x₁² + x₂² + ... + xₙ²)(y₁² + y₂² + ... + yₙ²)
trong cơ x₁, x₂, ..., xₙ và y₁, y₂, ..., yₙ là những số thực.
Đồng ý với bất đẳng thức Cauchy, tớ đem vệt vày khi và chỉ khi những vector x và nó tương tự động (tức là những thông số tỷ trọng Một trong những bộ phận của bọn chúng là cố định). Bất đẳng thức Cauchy là hạ tầng cho tới nhiều bất đẳng thức không giống nhập toán học tập, và nó đem phần mềm trong số nghành nghề dịch vụ như phân tách số, hình học tập và phần trăm.

Công thức tổng quát mắng của bất đẳng thức Cauchy là:
Cho nhị sản phẩm số thực a₁, a₂, ..., aₙ và b₁, b₂, ..., bₙ, thì tớ có:
(a₁b₁ + a₂b₂ + ... + aₙbₙ)² ≤ (a₁² + a₂² + ... + aₙ²)(b₁² + b₂² + ... + bₙ²)
Đây là 1 công thức cần thiết nhập toán học tập, nó chỉ ra rằng quan hệ thân thiện tích vô vị trí hướng của nhị vector với phỏng lâu năm của bọn chúng. Công thức này thông thường được dùng nhằm minh chứng những bất đẳng thức không giống và có không ít phần mềm trong số nghành nghề dịch vụ như đại số tuyến tính, phương trình vi phân và phần trăm đo đếm.
Để minh chứng công thức này, tớ dùng cách thức của quy hấp thụ toán học tập. Cách thứ nhất là minh chứng công thức cho tới tình huống n = 2. Sau cơ, tớ fake sử công thức trúng cho tới n = k và minh chứng công thức trúng cho tới n = k + 1. Quá trình này được tái diễn cho tới toàn bộ những độ quý hiếm của n, kể từ cơ minh chứng được công thức tổng quát mắng của bất đẳng thức Cauchy.
Tuy nhiên, việc minh chứng cụ thể của công thức này hoàn toàn có thể khá phức tạp và yên cầu kỹ năng và kiến thức về đại số tuyến tính và quy hấp thụ toán học tập. Nếu chúng ta quan hoài nhập việc minh chứng công thức này, bạn cũng có thể dò xét hiểu thêm thắt trong số sách giáo trình chuyên nghiệp về đại số tuyến tính hoặc tư liệu nâng lên về toán học tập.

Để minh chứng bất đẳng thức Cauchy nhập tình huống tổng hữu hạn, tớ đem công việc sau:
Bước 1: Xác ấn định ĐK và fake thiết của câu hỏi.
Để vận dụng bất đẳng thức Cauchy, tớ cần phải có nhị sản phẩm số thực đem số hạng hữu hạn:
A = (a₁, a₂, ..., aₙ)
B = (b₁, b₂, ..., bₙ)
Bước 2: kề dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz được thể hiện nay bên dưới dạng sau:
(a₁b₁ + a₂b₂ + ... + aₙbₙ)² ≤ (a₁² + a₂² + ... + aₙ²) * (b₁² + b₂² + ... + bₙ²)
Bước 3: Chứng minh bất đẳng thức
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz nhập câu hỏi, tớ có:
(a₁b₁ + a₂b₂ + ... + aₙbₙ)² ≤ (a₁² + a₂² + ... + aₙ²) * (b₁² + b₂² + ... + bₙ²)
Bước 4: Chứng minh vệt bằng
Để minh chứng \"đẳng thức\" xẩy ra nhập bất đẳng thức, tớ cần thiết minh chứng rằng nhị sản phẩm A và B tạo ra trở thành một cỗ số tỉ trọng.
Bạn hoàn toàn có thể dùng những cách thức minh chứng vệt vày như bịa t= a₁/b₁ = a₂/b₂ = ... = aₙ/bₙ, rồi minh chứng đẳng thức tồn vào đúng thời điểm t nhận độ quý hiếm vì vậy.
Mong rằng câu vấn đáp bên trên giúp đỡ bạn hiểu cơ hội minh chứng bất đẳng thức Cauchy nhập tình huống tổng hữu hạn.

Bất đẳng thức Cauchy là 1 bất đẳng thức cần thiết nhập toán học tập, xác lập quan hệ thân thiện tổng số vô hạn và phỏng lâu năm của những chuỗi số. Để minh chứng bất đẳng thức Cauchy nhập tình huống tổng số vô hạn, tớ hoàn toàn có thể thực hiện như sau:
Bước 1: Giả sử đem nhị chuỗi số a_n và b_n, với n là số vẹn toàn dương, và tổng số vô hạn của nhị chuỗi này đều quy tụ.
Bước 2: Xét nhị số a_n và b_n ngẫu nhiên nhập nhị chuỗi. kề dụng công thức Cauchy-Schwarz, tớ có:
(a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n)^2 ≤ (a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2)
Bước 3: Lấy căn bậc nhị của tất cả nhị vế bất đẳng thức, tớ được:
|a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n| ≤ √(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2) √(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2)
Bước 4: Since tổng số vô hạn của nhị chuỗi là quy tụ, tức là tổng a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2 và tổng b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2 đều quy tụ, tớ hoàn toàn có thể lấy số lượng giới hạn khi n tiến bộ cho tới vô nằm trong. Khi cơ, bất đẳng thức trở thành:
|a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n| ≤ √(∑(a_n^2)) √(∑(b_n^2))
Bước 5: Do cơ, minh chứng rằng tổng số vô hạn a_1b_1 + a_2b_2 + ... là tụ hợp, tức là, tổng số vô hạn quy tụ tuyệt so với từng cặp chuỗi số quy tụ.
Đây là cơ hội minh chứng bất đẳng thức Cauchy nhập tình huống tổng số vô hạn. Qua công việc bên trên, tớ hoàn toàn có thể thấy rằng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz là 1 sản phẩm cần thiết và đem phần mềm rộng lớn trong không ít nghành nghề dịch vụ không giống nhau của toán học tập.

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz là 1 bất đẳng thức cần thiết nhập toán học tập, được minh chứng vày Augustin Louis Cauchy và Hermann Schwarz. Bất đẳng thức này thông thường được dùng nhập đại số tuyến tính và phép tắc tính tích phân.
Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz nêu rõ ràng quan hệ thân thiện tích vô vị trí hướng của nhị vectơ và tổng bình phương của những bộ phận của vectơ.
Cho nhị vectơ a = (a1, a2, ..., an) và b = (b1, b2, ..., bn), bất đẳng thức Cauchy-Schwarz được màn biểu diễn như sau:
(a1*b1 + a2*b2 + ... + an*bn)^2 ≤ (a1^2 + a2^2 + ... + an^2) * (b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)
Trong cơ, \"=\" xẩy ra khi và chỉ khi tồn bên trên một trong những thực k sao cho tới vectơ a = k * b.
Bất đẳng thức này còn có thật nhiều phần mềm trong số nghành nghề dịch vụ toán học tập không giống nhau như hình học tập, phương trình vi phân và giải tích. Nó gom tất cả chúng ta minh chứng nhiều sản phẩm cần thiết và tối ưu hóa những hàm tiềm năng.

Công thức tổng quát mắng của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz là: Cho nhị sản phẩm số a1, a2, ..., an và b1, b2, ..., bn, thì tớ có
(a1*b1 + a2*b2 + ... + an*bn)^2 = (a1^2 + a2^2 + ... + an^2)*(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2).
Công thức bên trên hoàn toàn có thể được viết lách lại bên dưới dạng:
(a1^2/a1^2 + a2^2/a2^2 + ... + an^2/an^2)*(b1^2/a1^2 + b2^2/a2^2 + ... + bn^2/an^2) >= (a1*b1/a1^2 + a2*b2/a2^2 + ... + an*bn/an^2)^2.
Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz là 1 công thức cần thiết nhập toán học tập và được dùng rộng thoải mái trong không ít nghành nghề dịch vụ, như đại số tuyến tính, lý thuyết phần trăm, và phương trình vi phân.

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz là 1 trong mỗi bất đẳng thức cơ phiên bản nhập toán học tập và đem thật nhiều phần mềm trong số nghành nghề dịch vụ không giống nhau. Dưới đó là một trong những phần mềm của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
1. Định lý cosine nhập hình học: Trong hình học tập, ấn định lý cosine là 1 phần mềm cần thiết của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Nó được dùng nhằm tính cosin của một góc ngẫu nhiên nhập tam giác dựa vào những phỏng lâu năm của những cạnh của tam giác.
2. Bổ đề nhiều thức: Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz được dùng nhằm minh chứng những bửa đề nhiều thức cần thiết, ví như bửa đề nhiều thức của Lagrange và bửa đề nhiều thức của Bernstein.
3. Ung dung nhập phân tách hàm: Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz được dùng nhập phân tách hàm nhằm minh chứng những bất đẳng thức cần thiết khác ví như bất đẳng thức Hölder và bất đẳng thức Minkowski.
4. Ung dung nhập xác suất: Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz đem phần mềm cần thiết nhập lý thuyết phần trăm. Nó được dùng nhằm minh chứng nhiều bất đẳng thức và bửa đề nhập nghành nghề dịch vụ phần trăm và đo đếm.
5. Ung dung nhập vật lý: Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cũng khá được dùng nhập vật lý cơ nhằm minh chứng những mối quan hệ toán học tập cần thiết như mối quan hệ ko ấn định luật loại nhị của sức nóng động học tập và mối quan hệ ko ấn định luật loại nhị của xê dịch.
Đây đơn giản một trong những ví dụ về phần mềm của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz nhập toán học tập. Bất đẳng thức này còn có nhiều phần mềm rộng thoải mái và là 1 khí cụ cần thiết trong công việc minh chứng những bất đẳng thức và bửa đề trong không ít nghành nghề dịch vụ.

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và bất đẳng thức AM-GM là nhị bất đẳng thức truyền thống nhập toán học tập và đem một trong những quan hệ ngặt nghèo cùng nhau.
Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz là bất đẳng thức cho tới sản phẩm số thực, được công thức hóa như sau:
(X1^2 + X2^2 + ... + Xn^2)(Y1^2 + Y2^2 + ... + Yn^2) ≥ (X1Y1 + X2Y2 + ... + XnYn)^2
Bất đẳng thức AM-GM là bất đẳng thức cho tới sản phẩm số ko âm, được công thức hóa như sau:
√(X1X2...Xn) ≤ (X1 + X2 + ... + Xn)/n
Mối mối quan hệ thân thiện bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và bất đẳng thức AM-GM được thể hiện nay qua chuyện việc bất đẳng thức Cauchy-Schwarz hoàn toàn có thể dùng để làm minh chứng bất đẳng thức AM-GM nhập một trong những tình huống quan trọng.
Chẳng hạn, khi những số X1, X2, ..., Xn là những số vẹn toàn ko âm và Y1, Y2, ..., Yn là những số thực ngẫu nhiên, tớ hoàn toàn có thể vận dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz như sau:
(X1^2 + X2^2 + ... + Xn^2)(Y1^2 + Y2^2 + ... + Yn^2) ≥ (X1Y1 + X2Y2 + ... + XnYn)^2
Đặt Xi = X1 = X2 = ... = Xn = 1/n, tớ có:
(n/n^2)(Y1^2 + Y2^2 + ... + Yn^2) ≥ (1/n)(Y1 + Y2 + ... + Yn)^2
Simplifying this equation, we get:
Y1^2 + Y2^2 + ... + Yn^2 ≥ (Y1 + Y2 + ... + Yn)^2/n^2
Taking square root on both sides, we have:
√(Y1^2 + Y2^2 + ... + Yn^2) ≥ (Y1 + Y2 + ... + Yn)/n
This result is exactly the same as the AM-GM inequality.
Thus, the Cauchy-Schwarz inequality can be applied vĩ đại prove special cases of the AM-GM inequality. It shows that these two inequalities are closely related, and the Cauchy-Schwarz inequality is a more general inequality that encompasses the AM-GM inequality in certain situations.

Cách dùng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz nhập tích phân như sau:
1. Thứ nhất, fake sử tất cả chúng ta đem nhị hàm số liên tiếp f(x) và g(x) bên trên một quãng [a, b].
2. Ta ham muốn tính tích phân của tích nhị hàm số này bên trên đoạn [a, b], tức là:
∫(a→b) f(x)g(x)dx.
3. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, tớ có:
(∫(a→b) f(x)g(x)dx)^2 ≤ (∫(a→b) f(x)^2 dx) (∫(a→b) g(x)^2 dx).
4. Để vận dụng bất đẳng thức này, tất cả chúng ta cần thiết xác lập ví dụ độ quý hiếm của những hàm số f(x) và g(x) bên trên đoạn [a, b].
5. Sau cơ, tính độ quý hiếm của:
∫(a→b) f(x)^2 dx và ∫(a→b) g(x)^2 dx.
6. Tính tích của nhị độ quý hiếm bên trên, và lấy căn bậc nhị.
7. Khi cơ, độ quý hiếm tích phân phía bên trái bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ko vượt lên trước quá độ quý hiếm tích của nhị tích phân phía bên phải bất đẳng thức.
8. Nếu độ quý hiếm tích phân phía bên trái và độ quý hiếm tích của nhị tích phân phía bên phải đều nhau, tức là (∫(a→b) f(x)g(x)dx)^2 = (∫(a→b) f(x)^2 dx) (∫(a→b) g(x)^2 dx), thì tất cả chúng ta hoàn toàn có thể Kết luận rằng hàm số f(x) và g(x) tỷ trọng thuận nhau bên trên đoạn [a, b].
Lưu ý rằng nhằm vận dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz nhập tích phân, tất cả chúng ta cần thiết đáp ứng những hàm số và tích phân tồn bên trên và xác lập bên trên đoạn [a, b].

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz là 1 trong mỗi bất đẳng thức cần thiết nhập đại số tuyến tính và không khí vector. Bất đẳng thức này xác lập quan hệ thân thiện tích vô phía và phỏng lâu năm của những vector nhập không khí vector.
Để lý giải bất đẳng thức Cauchy-Schwarz một cơ hội cụ thể, tất cả chúng ta chính thức bằng sự việc kiểm tra không khí vector thực nhiều chiều R^n.
Cho nhị vector x = (x1, x2, ..., xn) và nó = (y1, y2, ..., yn) nhập không khí vector R^n. Ta khái niệm tích vô phía (dot product) của nhị vector này là:
x.nó = x1y1 + x2y2 + ... + xnyn
Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz tuyên bố rằng:
|x.y| ≤ ||x|| ||y||
Trong cơ, ||x|| và ||y|| theo lần lượt là phỏng lâu năm (norm) của vector x và vector nó. Độ lâu năm của một vector được xem vày căn bậc nhị của tổng bình phương những bộ phận của vector đó:
||x|| = √(x1^2 + x2^2 + ... + xn^2)
Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz đã cho thấy rằng tích vô vị trí hướng của nhị vector ko vượt lên trước quá tích của phỏng lâu năm của bọn chúng. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi nhị vector tạo ra trở thành một hệ tuyến tính dựa vào cho nhau.
Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz có không ít phần mềm trong số nghành nghề dịch vụ như đại số tuyến tính, hình học tập và phần trăm. Nó hỗ trợ một khí cụ cần thiết nhằm Reviews và minh chứng những mệnh đề tương quan cho tới không khí vector và tích vô phía.
Hi vọng chúng ta tiếp tục nhìn thấy vấn đề hữu ích về bất đẳng thức Cauchy-Schwarz!

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz là 1 bất đẳng thức cần thiết được dùng nhập toán học tập, quan trọng nhập không khí vector. Bất đẳng thức này được minh chứng bằng phương pháp dùng tích vô vị trí hướng của nhị vector nhập không khí vector.
Để minh hội chứng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz nhập không khí vector, xét nhị vector u và v nhập không khí vector nhiều chiều. Giả sử tất cả chúng ta có:
u = (u₁, u₂, ..., uₙ) và v = (v₁, v₂, ..., vₙ)
Khi cơ, tích vô vị trí hướng của nhị vector u và v được khái niệm là:
u·v = u₁v₁ + u₂v₂ + ... + uₙvₙ
Bước 1: Xây dựng một hàm số
Để minh chứng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, tất cả chúng ta kiến thiết một hàm số J(t) như sau:
J(t) = ||tu - v||²
Với t là một trong những thực.
Bước 2: Tính đạo hàm
Tiếp theo gót, tất cả chúng ta tính đạo hàm của hàm số J(t) theo gót t:
J\'(t) = 2(tu - v)·u = 2tu·u - 2v·u
Bước 3: Tìm điểm cực kỳ trị
Để dò xét điểm cực kỳ trị của hàm số J(t), tất cả chúng ta giải phương trình J\'(t) = 0:
2tu·u - 2v·u = 0
t(u·u) = v·u
t = (v·u)/(u·u)
Bước 4: Chứng minh bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
Tiếp theo gót, tất cả chúng ta phân tách hàm số J(t) bên trên điểm cực kỳ trị để xem rằng nó luôn luôn ko âm:
J(t) = ||tu - v||²
= ||tu - v||·||tu - v||
= (tu - v)·(tu - v)
= t²u·u - 2tu·v + v·v
= t²u·u - 2t(v·u) + v·v
= t²(u·u) - 2t(v·u) + v·v
= (u·u)(t²) - 2(v·u)t + v·v
Như vậy, tớ có:
J(t) = (u·u)(t²) - 2(v·u)t + v·v
= (u·u)(t - (v·u)/(u·u))² + v·v - [(v·u)²/(u·u)]
Vì (t - (v·u)/(u·u))² là một trong những ko âm, nên tớ chỉ việc quan hoài cho tới những bộ phận sót lại của biểu thức bên trên.
= v·v - [(v·u)²/(u·u)]
Như vậy, với từng độ quý hiếm của t, hàm số J(t) luôn luôn ko âm. Điều này còn có nghĩa là:
v·v - [(v·u)²/(u·u)] ≥ 0
Đồng thời, tớ cũng có:
u·v ≥ 0
Tuy nhiên, bằng phương pháp nhân cả nhị bất đẳng thức bên trên với (u·u), tớ được:
(u·u)(v·v) - (v·u)² ≥ 0
Hơn nữa, bằng phương pháp bịa a = u·u và b = v·u, tớ hoàn toàn có thể viết lách lại bất đẳng thức xấp xỉ dạng:
ab - b² ≥ 0
ab ≥ b²
a ≥ (b²)/a
Qua quy trình minh chứng bên trên, tất cả chúng ta tiếp tục thấy rằng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz là trúng.
Tóm lại, bất đẳng thức Cauchy-Schwarz xác lập một quan hệ thân thiện tích vô phía và phỏng lâu năm của nhị vector nhập không khí vector. Nó là 1 khí cụ cần thiết trong không ít nghành nghề dịch vụ của toán học tập như đại số tuyến tính, phương trình vi phân và giải tích.

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz là 1 bất đẳng thức cần thiết nhập không khí vector. Để minh chứng bất đẳng thức này, tất cả chúng ta hoàn toàn có thể tuân theo công việc sau:
Bước 1: Đặt nhị vector nhập không khí vector là u và v.
Bước 2: Xây dựng một hàm số f(t) = ||tu + v||^2, nhập cơ ||.|| là norm của vector.
Bước 3: Tính đạo hàm của hàm số f(t) theo gót đổi thay t.
Bước 4: Để đơn giản và giản dị hóa việc đo lường và tính toán, tớ hoàn toàn có thể dùng tích tổng của u và v nhằm tính đạo hàm của hàm số f(t). Viết u * v là tích tổng của u và v.
Bước 5: Tính toán đạo hàm của hàm số f(t), tớ có:
f\'(t) = 2(u * v + t||v||^2).
Bước 6: Để xác lập độ quý hiếm nhỏ nhất của hàm số f(t), tớ giải phương trình f\'(t) = 0.
Bước 7: Giải phương trình f\'(t) = 0, tớ có:
(u * v + t||v||^2) = 0.
Bước 8: Đặt t = -((u * v)/||v||^2), tớ có:
(u * v - ((u * v)^2)/||v||^2) = 0.
Bước 9: Xác ấn định ĐK nhằm phương trình bên trên đem nghiệm độc nhất. Điều khiếu nại này là (u * v)^2 = ||u||^2 * ||v||^2.
Bước 10: Dựa nhập ĐK bên trên, tớ có:
(u * v)^2 ≤ ||u||^2 * ||v||^2.
Bước 11: kề dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tới nhị vector u và v, tớ có:
|(u * v)| ≤ ||u|| * ||v||.
Bước 12: Nhận thấy rằng bất đẳng thức bên trên trúng với bất đẳng thức ban sơ, tớ minh chứng được bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.
Với công việc bên trên, tất cả chúng ta hoàn toàn có thể minh chứng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz nhập không khí vector.

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz là 1 bất đẳng thức cần thiết nhập toán học tập, tương quan cho tới tích phân và có không ít phần mềm trong số nghành nghề dịch vụ không giống nhau. Dưới đó là tổ hợp những bất đẳng thức thịnh hành tương quan cho tới bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và phần mềm của chúng:
1. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz vận dụng cho tới nhị vector a và b nhập không khí Euclid đem độ dài rộng n. Được màn biểu diễn bên dưới dạng công thức:
(a*b)^2 ≤ (||a||^2) * (||b||^2)
Trong cơ, a*b là tích vô vị trí hướng của nhị vector, ||a|| và ||b|| theo lần lượt là phỏng lâu năm của vector a và b.
2. Bất đẳng thức Tích phân Cauchy-Schwarz:
Bất đẳng thức Tích phân Cauchy-Schwarz vận dụng cho tới hàm f và g nhập không khí miền A nằm trong không khí Euclid. Công thức của bất đẳng thức này là:
(∫(A) f*g dA)^2 ≤ (∫(A) f^2 dA) * (∫(A) g^2 dA)
Trong cơ, ∫(A) là ký hiệu của phép tắc tích phân bên trên miền A, f*g là tích của nhị hàm f và g, và f^2 và g^2 là bình phương của những hàm f và g.
3. Ứng dụng của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
- Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz hoàn toàn có thể được dùng nhằm minh chứng những bất đẳng thức không giống nhập toán học tập, ví như bất đẳng thức Bùi-Mozoghin.
- Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cũng có thể có những phần mềm nhập đại số tuyến tính và hình học tập.
- Nó cũng khá được dùng nhập phần trăm và đo đếm nhằm minh chứng những bất đẳng thức tương quan cho tới tích phân và kỳ vọng.
Tóm lại, bất đẳng thức Cauchy-Schwarz là 1 khí cụ cần thiết và có không ít phần mềm rộng thoải mái nhập toán học tập và những nghành nghề dịch vụ không giống.

Xem thêm: Kích thước khổ giấy a5 là bao nhiêu? Cách chọn in giấy A5